具体例からの表現論入門 - satsukimiのブログ

読書メモ

定理 1.1 n次対称群の隣接互換たちの基本関係式について

証明

$\mathfrak{F}_n$ : 自由群

$\mathfrak{N}_n$ : 基本関係式による正規部分群

$G_n := \mathfrak{F}_n/\mathfrak{N}_n \cong \mathfrak{S}_n$ を示したい

(1) いきなり、 $G = G_n$ の部分群 $H = G_{n-1}$ と言われるが、本当か?

$\mathfrak{F}_{n-1} \hookrightarrow \mathfrak{F}_n \to G_n$ の核がちょうど $\mathfrak{N}_{n-1}$ と言えば良い。核は

$\mathfrak{F}_{n-1} \cap \mathfrak{N}_n$ であり、 $=\mathfrak{N}_{n-1}$ を示せばよい。

$\supseteq$ : 左辺が $\mathfrak{F}_{n-1}$ の正規部分群といえば大体ok

$\subseteq$ : わからん...。